问题重述:
全排列算法即对给定的一个序列,输出其所有不同的(n!种)排列,例如:
给定序列{1, 2, 3}有{1, 2, 3}、{1, 3, 2}、{2, 1, 3}、{2, 3, 1}、{3, 1, 2}、{3, 2, 1}这6种排列
好像很容易就能写出来,对于更长的序列也只是时间问题,最终肯定能够用笔一一列出来。但是要用程序实现的话,可能让人有点无从下手(乍看好像很简单),下面给出三种不同的解全排列的方法:
一.原创方法
所谓的原创方法就是不考虑算法的效率及其他因素,完全为了解决问题而自己去构造一种可行的方法(不一定好,但能解决问题)
首先,让我们想想自己是如何写出上面的6个序列的
- 确定第一位上的元素,有三种可能:1, 2, 3
- 确定第二位上的元素(以1为例),有两种可能:2, 3
- 确定第三位上的元素(以2为例),只有一种可能:3。这时我们就得到了一个序列:1, 2, 3
接下来,让我们理一理思路,想想用程序如何实现。对于一个长度为n的序列来说,计算机要做的就是:
- 1.确定第(i)位上的元素,有(n + 1 – i)种可能,依次选择一种可能作为第i位的元素,保存当前已经确定的序列(长度为i)
- 2.确定第(i+1)位上的元素,有(n + 1 – i – i)种可能,依次选择一种可能作为第i + 1位的元素,保存当前已经确定的序列(长度为i + 1)
- 。。。
- n.确定第(n)位上的元素,只有一种可能,将唯一的可能元素作为第n位上的元素,输出已经确定的序列
显然,这是一种递归的方法。Java代码如下:
public class FullPermutation { static int count = 0; //递归实现全排列 //程序思路是:依次确定第一位到最后一位,与人的一般思维方式一致 public static void main(String[] args) { String str = "13234"; str = check(str);//去除重复元素 fullPermutate(0, "", str); System.out.print(count); } //@param index 本次调用确定第index位 //@param path 已经确定顺序的串 //@param string 待全排列的串 static void fullPermutate(int index, String path, String string) { String restStr = strSub(string, path); if(index == string.length()) { System.out.println(path + restStr); count++;// return; } else { for(int i = 0;i < string.length() - index;i++) fullPermutate(index + 1, path + restStr.charAt(i), string); } } //@param full 完整的串 //@param part 部分子串 //@return rest 返回full与part的差集 static String strSub(String full, String part) { String rest = ""; for(int i = 0;i < full.length();i++) { String c = full.charAt(i) + ""; if(!part.contains(c)) rest += c; } return rest; } //@param str 待检查的串 //@return 返回不含重复元素的串 static String check(String str) { for(int i = 0;i < str.length() - 1;i++) { String firstPart = str.substring(0, i + 1); String restPart = str.substring(i + 1); str = firstPart + restPart.replace(str.charAt(i) + "", ""); } return str; } }
P.S.至于上面的代码中为什么要去除参数中的重复元素,是为了增强程序的鲁棒性,经典的排列问题是针对不含重复元素的序列而言的,含重复元素的序列我们将在后面展开讨论
二.一般算法(最常见的,也是最经典的全排列算法)
核心思想是交换,具体来说,对于一个长度为n的串,要得到其所有排列,我们可以这样做:
- 把当前位上的元素依次与其后的所有元素进行交换
- 对下一位做相同处理,直到当前位是最后一位为止,输出序列
(需要注意的一点:我们的思想是“交换”,也就是直接对原数据进行修改,那么在交换之后一定还要再换回来,否则我们的原数据就发生变化了,肯定会出错)
如果觉得上面的解释还是很难懂的话,那么记住这句话:核心思想就是让你后面的所有人都和你交换一遍(而你是一个指针,从前向后按位移动…)。C代码如下:(摘自http://www.cnblogs.com/nokiaguy/archive/2008/05/11/1191914.html)
#include <stdio.h>
int n = 0;
void swap(int *a, int *b) {
int m; m = *a; *a = *b; *b = m; }
void perm(int list[], int k, int m) { int i;
if(k > m)
{
for(i = 0; i <= m; i++)
printf("%d ", list[i]);
printf("\n");
n++;
}
else
{
for(i = k; i <= m; i++)
{
swap(&list[k], &list[i]);
perm(list, k + 1, m);
swap(&list[k], &list[i]);
}
} } int main() {
int list[] = {1, 2, 3, 4, 5};
perm(list, 0, 4);
printf("total:%d\n", n);
return 0; }
原文也给出了一点解释,但如果还是不能理解的话,不妨输出一下运行轨迹,有助于理解,或者用笔画一画,多看几遍就明白了,直接看代码的话确实不好理解
三.字典序法
其实在本文开头给出的例子中就用了字典序,人写全排列或者其它类似的东西的时候会不自觉的用到字典序,这样做是为了防止漏掉序列
既然如此,用字典序当然也能实现全排列,对于给定序列{3, 1, 2},我们理一理思路,想想具体步骤:
- 对给定序列做升序排序,得到最小字典序{1, 2, 3}
- 对有序序列求下一个字典序,得到{1, 3, 2}
- 如果当前序列没有下一个字典序(或者说当前序列是最大字典序,如{3, 2, 1}),则结束
显然字典序法的核心是:求下一个字典序,要充分理解这里的“下一个”,有两层意思:
- 该序列在字典中是排在当前序列后面的
- 该序列是字典中最靠近当前序列的
字典序有严格的数学定义,按照定义就能求出一个序列的下一个字典序,具体做法不在此展开叙述(下面的代码中有细致的解释)。Java代码如下:
public class DictionaryOrder { //按字典序输出全排列 //按照字典序可以得到已知序列的下一个序列,可以用于不需要得到所有全排列的场合(例如数据加密) public static void main(String[] args) { int arr[] = new int[]{4, 3, 1, 2}; // boolean exist = nextPermutation(arr); // if(exist) // { // for(int value : arr) // System.out.print(value); // System.out.println(); // } // else // System.out.println("当前序列已经是最大字典序列"); //对给定序列排序(升序) sort(arr); for(int value : arr) System.out.print(value); System.out.println(); //求全排列并输出 int count = 1;//第一个已经在上面输出了 while(nextPermutation(arr)) { for(int value : arr) System.out.print(value); System.out.println(); count++; } System.out.println("共 " + count + " 个"); } //@param arr 当前序列 //@return 字典序中的下一个序列,没找到则返回false public static boolean nextPermutation(int[] arr) { int pos1 = 0, pos2 = 0; //1.从右向左找出满足arr[i] < arr[i + 1]的i //(就是找出相邻位中满足前者小于后者关系的前者的位置) boolean find = false; for(int i = arr.length - 2;i >= 0;i--) if(arr[i] < arr[i + 1]) { pos1 = i; find = true; break; } if(!find)//若没找到,说明当前序列已经是最大字典序了 return false; //2.从pos1向后找出最小的满足arr[i] >= arr[pos1]的i //(就是找出pos1后面不小于arr[pos1]的最小值的位置) int min = arr[pos1]; for(int i = pos1 + 1;i < arr.length;i++) { if(arr[i] >= arr[pos1]) { min = arr[i]; pos2 = i; } } //3.交换pos1与pos2位置上的值 int temp = arr[pos1]; arr[pos1] = arr[pos2]; arr[pos2] = temp; //4.对pos1后面的所有值做逆序处理(转置) int i = pos1 + 1; int j = arr.length - 1; for(;i < j;i++, j--) { temp = arr[i]; arr[i] = arr[j]; arr[j] = temp; } return true; } //对给定数组做升序排序(冒泡法) //@param arr 待排序数组 public static void sort(int[] arr) { for(int i = 0;i < arr.length - 2;i++) for(int j = 0;j < arr.length - i - 1;j++) if(arr[j] > arr[j + 1]) { int temp = arr[j]; arr[j] = arr[j + 1]; arr[j + 1] = temp; } } }
算法细节就到这里,下面讨论几个无关紧要问题:
1.给定序列中存在重复元素
经典的全排列问题不讨论这个问题,但实际应用中可能会遇到,我们有两个选择:
a.对原数据(给定序列)进行处理,对于重复元素只保留一个,或者对重复元素做替换,例如对{1, 1, 2, 3, 2},我们建立一张替换表,a = 1, b = 2,原数据处理结果为{1, a, 2, 3, b},至此我们就消除了重复元素
b.对算法做修改,检测重复元素并做相应处理,需要结合具体数据特征做处理
2.算法效率问题
如果复杂问题中需要用到全排列,那么不得不考虑算法效率问题了,上面给出的算法中,前两种时间复杂度相同,都是n层递归,每层n-i + 1个循环
第三种算法的时间复杂度主要集中在了排序上,如果给定序列已经有序,那么此时第三种算法无疑是最佳的
另外,还有一种新颖的全排列算法,有兴趣的话也可以试一试,原文链接:http://supershll.blog.163.com/blog/static/37070436201171005758332/