两千多年前，人们为了方便“数羊”而发明了自然数，“一只羊”的概念很容易理解，接下来是“两只羊”和“三只羊”，以此类推。人们很快意识到这样数下去工作量巨大，于是就在某一点放弃计数而代之以“很多羊”。不同的文明在不同点放弃计数。随着文明的发展，我们渐渐可以支持专门的人去思考“数字”，这些人不用考虑生计问题。这些智者确定了“零”的概念（没有羊），他们不准备为所有的自然数命名，而是发展出了多种计数体系，在需要的时候再为自然数命名，使用数字“1”，“2”等（罗马人使用“I”，“V”，“X”之类的）。这样，数学诞生了。

人们习惯于把羊排成一排来计数，这导致了数轴概念的产生，在一条直线上等间隔地标记数字。理论上，数轴可以无限延长，但为了方便，我们只标识到了某个数值，后面用一个箭头来表示数轴可以延长。历史上的思想家们想到它能表示无穷大的数，但羊贩子们可能不会理解这个概念，因为这已经超出了他们的想象。

如果您很健谈，就能劝说别人买一只您实际上没有的羊，由此产生了债务和负数的概念。卖掉这只想象中的羊，您实际有“负一”只羊。这种情况导致了整数的产生——由自然数和它们的相反数（负数）组成。

贫穷的出现显然早于债务，贫穷致使一部分人只买得起半只羊，甚至四分之一只羊。于是产生了分数——由一个整数除以另一个整数形成，如2/3，111/27数学家门称这些数为有理数，有理数填补了数轴上整数之间的空白。为了方便，人们发明了小数点表示法，用“3.1415”来代替冗长的31415/10000。

过了一段时间，人们发现日常生活中使用的有些数无法用有理数表示，最典型的例子是圆的周长与直径的比，记作PI。这就产生了所谓的实数，实数包含有理数和PI这样的无理数——如果用小数形式表示，小数点后需要无穷多位。实数数学被很多人认为是数学中最重要的领域之一，因为它是工程学的基础，人类使用实数创建了现代文明，最酷的事情是有理数可数，而实数不可数，。研究自然数和整数的领域称为离散数学，研究实数的领域被称为连续数学。

事实上，实数只是被文明文化所认可的，约定俗成的一种概念。许多著名物理学家们都认为：实数只是一种错觉，因为宇宙是离散和有限的。如果现实世界是由有限个离散事物组成的，那么我们只能够计数到某个固定值——因为我们已经数完了世界中的所有事物（不仅我们数完了羊，连烤面包机、修理工等额定也都数完了）。由此我们断定，仅用理算数学就能描述整个宇宙，并且只需要用到自然数的一个有限子集（很大但可数）。也许宇宙中就存在着一个超越我们科技的文明，他们从来没有听过连续数学、基本微积分理论，甚至是无限这样的概念。他们从不使用PI，而是使用3.14159（或者更精确的3.1415926535897932382626433832795）就可以建造完美的世界。

（《三体I》中提到外星人只在飞船上标记一个点就能带走整部百科全书的例子，说的正是这个意思）

那为什么还要使用连续数学呢？因为它在工程学上非常有用。但值得注意的是现实世界中使用的术语“实数”，通常是离散的意思。对3D虚拟世界的设计者来说，需要注意什么呢？和现实世界一样，将要处理的是一系列离散和有限的事物，可以使用C++提供的多种数据类型来描述3D虚拟世界，包括short，int，float和double。short是16位整数，能代表65536个不同的数值，虽然这个数很大，但度量现实世界还是远远不够的。int是32位整数，可以代表42亿个不同的数值。float是32位有理数，可以代表42亿个数值。double与float类似，是64位有理数。

为虚拟世界选择度量单位的关键是选择离散的精度，有一种错误的观点认为short、int是离散的，而float、double是连续的，而实践上这些数据类型都是离散的。以前的计算机图形学教材通常建议选用整数，因为那时硬件处理浮点数的能力要比处理整数弱，但对于现在的硬件。这种说法已经过时了。那应该怎样选择精度呢？计算机图形学的第一准侧：

计算机图形学第一准侧：近似原则如果看上去是对的它就是对的

（计算机中的PI不是实数，但我们认为它就是实数，就是被普遍认同的那个小数）

后记

1D数学是1根数轴（这样理解的话默认了数是连续的），2D数学是2根数轴（2D笛卡尔坐标系），3D数学是3根数轴（3D笛卡尔坐标系）。。。

参考资料

• 《3D数学基础：图形与游戏开发》