一.Functor像盒子？

盒子的比喻

常见的Functor类实例似乎都可以比作盒子（或者叫容器），比如Maybe/Either，List（[]）：

> fmap (+1) (Just 3)
Just 4
> fmap (+1) (Right 3)
Right 4
> fmap (+1) [1, 2, 3]
[2,3,4]

通过fmap把函数作用于容器里的值，得到一个装着新值的同类容器，甚至I/O Action也可以这样理解：

> fmap (++"!") getLine
abc
"abc!"

I/O Action类容器特殊之处在于，容器里的值是不确定的，取决于外部输入，可能来自用户键入、文件读取、甚至直接从系统环境取（比如随机数种子）。但可以肯定的是，I/O Action这个容器里装着一个值（不论这个值来自哪里），而fmap能够把函数作用于这个值，同样得到一个装着新值的I/O Action

至此，盒子的比喻仍然很恰当：纯环境下的容器是木质宝箱，里面装着确定不变的东西，而不纯环境下的容器是食人宝箱，里面不知道装着个啥。如下图（六一刚过，调皮一下）：

函数也是Functor类实例？！

那么，是不是所有的Functor类实例都可以这样理解呢？

instance Functor (Const m) -- Defined in ‘Data.Functor.Const’
instance Functor (Either a) -- Defined in ‘Data.Either’
instance Functor [] -- Defined in ‘GHC.Base’
instance Functor Maybe -- Defined in ‘GHC.Base’
instance Functor IO -- Defined in ‘GHC.Base’
instance Functor ((->) r) -- Defined in ‘GHC.Base’
instance Functor ((,) a) -- Defined in ‘GHC.Base’

（注意：简单起见，上面列出的只是一般Functor实例，去掉了3个同样属于Applicative的特殊Functor实例）

其它几个都没什么特别的，((->) r)这个东西长得有点奇怪，看起来像函数定义（r map to something），看下定义：

instance Functor ((->) r) where
  fmap = (.)

((->) r)确实是Functor类实例，实现的fmap就是函数组合（.）：

(.) :: (b -> c) -> (a -> b) -> a -> c

接受一个map b to c的函数和一个map a to b的函数，把后者的输出连接到前者的输入，返回map a to c的函数。这是我们所熟知的函数组合，但又与Functor有什么关系？

首先Functor的fmap类型是：

fmap :: Functor f => (a -> b) -> f a -> f b

既然((->) r)也是Functor实例，用((->) r)换掉f：

fmap :: (a -> b) -> (->) r a -> (->) r b

最后把->换成习惯的中缀形式：

fmap :: (a -> b) -> (r -> a) -> (r -> b)

这，不就是函数组合（.）吗？

(.) :: (b -> c) -> (a -> b) -> a -> c

所以，函数也是Functor类实例

P.S.那么，((->) r)为什么长得这么奇怪？因为Functor class要求：

class Functor (f :: * -> *) where
  fmap :: (a -> b) -> f a -> f b

f必须是接受一个具体类型参数的类型（* -> *），而->是：

(->) :: * -> * -> *

多了个参数，所以先填一个，就得到丑丑的(->) r了（r只是个形参名，叫a叫b都行）

更恰当的比喻

函数，确实很难被想成是盒子。想象力实在丰富的话，可以想作生化盒子（魔斯拉），或者坩埚（女巫森林一张新卡）之类的能让内容发生变化的盒子，嗯，试管

函数层面的fmap就是函数组合，对着map a to b的函数，做一发map b to c的映射，得到一个map a to c的新函数：

instance Functor ((->) r) where
  fmap = (.)

(.) :: (b -> c) -> (a -> b) -> a -> c

对比之前盒子的比喻：

通过fmap把函数作用于容器里的值，得到一个装着新值的同类容器

代入我们发明的生化盒子，得到：通过fmap把（生化）盒子作用于（生化）盒子，得到一个新（生化）盒子

这3个“（生化）盒子”要怎么理解？

把map a to b和map b to c当做两根试管，并且如果试管能连接的话，勉强说得通：

-- 试管ab能把水变红
a -> b
-- 试管bc能把红水变蓝
b -> c
-- 拿试管bc对ab做映射，就是把ab的底戳个洞，套进bc试管
(b -> c) . (a -> b)
-- 得到一根（更长的）新试管ac，作用是把水变蓝
a -> c

为什么比作试管（或者生化盒子）？因为代指一种转换，想要表达变化。而我们所理解的盒子，缺少这种具有转换作用的含义，因此这个比喻不恰当

所以，对于函数上下文的Functor

盒子的比喻不是那么恰当，functors其实比较像computation。function被map over到一个computation会产生经由那个function映射过后的computation

上面这个描述相当贴切了，computation就是数据转换，而转换是能做映射的，做映射的方式就是组合

一个比较正确的形容是functors是一个计算语境（computational context）。这个语境可能是这个computation可能带有值，或是有可能会失败（像Maybe跟Either a），或是他可能有多个值（像lists），等等。

所以，别叫盒子了，叫计算语境，fmap相当于对这个计算语境追加一层转换（做映射）

Lifting

再看一遍fmap的类型定义：

fmap :: Functor f => (a -> b) -> f a -> f b

输入一个map a to b的函数和一个Functor实例a，返回另一个Functor实例b，没什么特别的

换个姿势再看：

fmap :: Functor f => (a -> b) -> (f a -> f b)

输入一个map a to b的函数，返回另一个函数，这个函数的作用也是map a to b，但处于Functor的语境里（参数和返回值都被包进了Functor里），好像有那么点意思了

把一个函数转换为另一个环境下的对应函数，称为lifting（提升？没发现合适的翻译）：

Lifting is a concept which allows you to transform a function into a corresponding function within another (usually more general) setting.

看这个例子：

> replicate 3 'a'
"aaa"
> :t replicate
replicate :: Int -> a -> [a]
> :t liftA2 replicate
liftA2 replicate :: (Applicative f) => f Int -> f a -> f [a]
> (liftA2 replicate) [1,2,3] ['a','b','c']
["a","b","c","aa","bb","cc","aaa","bbb","ccc"]
> :t liftA2
liftA2 :: (Applicative f) => (a -> b -> c) -> (f a -> f b -> f c)

其中liftA2所做的事情就是lifting，根据一个普通函数（replicate）制造一个功能类似的新函数，新的能够应用于另一个环境（Applicative上下文）：

--  普通函数
Int -> a -> [a]
--  lift一下
f Int -> f a -> f [a]

所以，lift就是方便让普通函数能够在f的语境里正常工作

P.S.类似的lift函数共有3个：

liftA :: Applicative f => (a -> b) -> f a -> f b
liftA2 :: Applicative f => (a -> b -> c) -> f a -> f b -> f c
liftA3 :: Applicative f => (a -> b -> c -> d) -> f a -> f b -> f c -> f d

更多参数的可以通过<$>和<*>秒秒钟定义出来，见下面Applicative instances小节的(->) r部分

二.Functor laws

之前有提到：

实现Functor时需要遵循一些规则，比如不希望List元素顺序发生变化，希望二叉搜索树仍保留其结构性质等等

（摘自深入typeclass_Haskell笔记4）

所以functor laws的作用就是约束fmap，让映射结果保持一些性质：

如果遵守了functor laws，我们知道对它做fmap不会做多余的事情，只是用一个函数做映射而已

一共2条规则：

• fmap id = id

• fmap (f . g) = fmap f . fmap g

P.S.第二条也可以写作fmap (f . g) F = fmap f (fmap g F)，去掉组合更容易理解一些

第一条，如果我们对functor做map id，那么得到的新functor应该与原来的完全一样

第二条，将两个函数组合起来并将结果map over一个functor的结果，应该跟先将第一个函数map over一个functor，再将第二个函数map over第一步得到的functor的结果完全一样

（内置的）Functor类实例都满足这两条规则，例如：

> fmap id (Just 3)
Just 3
> fmap id Nothing
Nothing
> fmap ((+1) . (*2)) (Just 3)
Just 7
> fmap (+1) . fmap (*2) $ Just 3
Just 7

但手动实现的Functor实例就不一定了，因为这两条规则只是道德约束，没有强检查，所以在实现自定义Functor实例时应该注意自觉遵守

三.Applicative functors

看名字叫加强版的Functor，那么强在哪里？

我们知道Functor圈定了一类能被map over的东西，可以对着Functor实例用fmap，把普通函数作用于Functor的计算语境

似乎足够强大了，但有些特殊场景，例如：

> :t fmap (+) (Just 3)
fmap (+) (Just 3) :: Num a => Maybe (a -> a)

这是个什么东西？Maybe里装了个函数（即Just (+3)），那这个函数要怎么拿出来用呢？

比如想作用于Just 2的话，我们这样做：

> let (Just f) = (Just (+3)) in fmap f (Just 2)
Just 5

先模式匹配取出(+3)，再对Just 2做(+3)映射，因为我们无法单纯用fmap把包在一个Functor里的函数作用于另一个包在Functor里的值上

那么有没有一种对任何Functor都有效的通用模式，能帮助我们完成这个事情（把一个Functor里的函数作用于另一个Functor里的值）？

有。这个东西就是Applicative：

class Functor f => Applicative f where
  pure :: a -> f a
  (<*>) :: f (a -> b) -> f a -> f b

（摘自Applicative）

要求必须先是Functor实例，所以Applicative是一种特殊的Functor，所以也被称为Applicative functors

定义了两个接口pure与<*>

pure把一个普通值放到一个缺省的context下，一个最小的context但仍然包含这个值

怎么理解？看示例：

> pure 1 :: [Int]
[1]
> pure 1 :: Maybe Int
Just 1
> pure 1 :: IO Int
1

对于List而言，最小的context就是[]（空List），所以把1放进来得到[1]。Maybe的话，Nothing没有储值的能力，context只能是Just，所以是Just 1。I/O Action的话，当然是return 1（通过return把值放进I/O Action里）

<*>的作用是：

It applies the wrapped function to the wrapped value

这正是我们想要的，把一个Functor里的函数作用于另一个Functor里的值

所以，Applicative对Functor的增强体现在<*>函数上，增强方式是让这些Functor实例都实现个<*>，支持把一个Functor里的函数作用于另一个Functor里的值

带来2个好处，其一是对多参函数更友好：

如果只是普通的functor的话，我们只能将一个（单参）函数map over这个functor。但有了applicative functor，我们可以对好多个functor套用一个（多参）函数

其二是允许Functor结合（而不像fmap算一次得到个Functor就只能结束了，通过<*>能够继续运算下去）：

applicative functor不只是有趣而且实用，它允许我们结合不同种类的计算，像是I/O计算，non-deterministic的计算，有可能失败的计算等等。而使用<$>跟<*>我们可以将普通的函数来运作在任意数量的applicative functors上。

例如：

> (+) <$> (Just 1) <*> (Just 2)
Just 3
> (\a b c -> a + b + c) <$> (Just 1) <*> (Just 2) <*> (Just 3)
Just 6
> (+3) <$> ((+) <$> (Just 1) <*> (Just 2))
Just 6

四.Applicative instances

Applicative类有很多实例：

instance Monoid m => Applicative (Const m)
  -- Defined in ‘Data.Functor.Const’
instance Applicative (Either e) -- Defined in ‘Data.Either’
instance Applicative ZipList -- Defined in ‘Control.Applicative’
instance Monad m => Applicative (WrappedMonad m)
  -- Defined in ‘Control.Applicative’
instance Control.Arrow.Arrow a => Applicative (WrappedArrow a b)
  -- Defined in ‘Control.Applicative’
instance Applicative [] -- Defined in ‘GHC.Base’
instance Applicative Maybe -- Defined in ‘GHC.Base’
instance Applicative IO -- Defined in ‘GHC.Base’
instance Applicative ((->) a) -- Defined in ‘GHC.Base’
instance Monoid a => Applicative ((,) a) -- Defined in ‘GHC.Base’

Maybe

instance Applicative Maybe where
  pure = Just
  Nothing <*> _ = Nothing
  (Just f) <*> something = fmap f something

对Maybe类型而言，最小的能让值参与运算的context就是Just something，从Nothing中取不出函数，所以结果一定是Nothing，如果左侧不是Nothing，就模式匹配从中取出函数f，并通过fmap作用于右侧的Maybe实例（something）

List

instance Applicative [] where
  pure x = [x]
  fs <*> xs = [f x | f <- fs, x <- xs]

pure f就是[f]，而[f] <*> xs将左边的每个函数套用至右边的每个值

P.S.很容易发现pure f <*> xs其实等价于fmap f xs，这也是Applicative laws其中一条

IO

instance Applicative IO where
  pure = return
  a <*> b = do
    f <- a
    x <- b
    return (f x)

pure的对应实现就是return，把一个值包进I/O Action，让它能够参与IO运算，<*>所作的事情就是分别从左右两侧的I/O Action里取出函数和值，做完运算再用return包好结果

(->) r

instance Applicative ((->) r) where
  pure x = (\_ -> x)
  f <*> g = \x -> f x (g x)

这个看起来有些奇怪，pure生成一个返回常量的函数，<*>把左右两侧的函数组合起来

例如：

(+) <$> (+3) <*> (*100)

其中<$>就是中缀版的fmap，如下：

infixl 4 <$>
(<$>) :: Functor f => (a -> b) -> f a -> f b
(<$>) = fmap

<*>与<$>都是infixl 4（中缀左结合，优先级为4），所以展开过程是这样：

(+) <$> (+3) <*> (*100)
=(fmap (+) (+3)) <*> (*100)
=((.) (+) (+3)) <*> (*100)
=((+) . (+3)) <*> (*100)
=\x -> ((+) . (+3)) x ((*100) x)
=\x -> (+) ((+3) x) ((*100) x)

即：

f1 <$> f2 <*> f3
=\x -> f1 (f2 x) (f3 x)

将两个applicative functor喂给<*>可以产生一个新的applicative functor，所以如果我们丢给他两个函数，我们能得到一个新的函数

所以f1 <$> f2 <*> f3的实际效果是：制造一个把f2和f3的结果作为参数调用f1的函数。那么就有：

f1 <$> f2 <*> f3 <*> ... <*> fn
=\x -> f1 (f2 x) (f3 x) ... (fn x)

P.S.f1 <$> f2 <*> f3这种固定模式有个工具函数，叫liftA2：

liftA2 :: Applicative f => (a -> b -> c) -> f a -> f b -> f c
liftA2 f a b = f <$> a <*> b

liftA2接受一个普通的二元函数，并将他升级成一个函数可以运作在两个functor之上

这就是所谓的lifting（升级？）

ZipList

对比List：

instance Applicative [] where
  pure x = [x]
  fs <*> xs = [f x | f <- fs, x <- xs]

ZipList的实现如下：

instance Applicative ZipList where
  pure x = ZipList (repeat x)
  ZipList fs <*> ZipList xs = ZipList (zipWith (\f x -> f x) fs xs)

P.S.ZipList位于Control.Applicative模块，之所以存在ZipList，是因为无法再赋予List另一种不同的Applicative实现

pure实际上生成了一个无限长的ZipList，这是因为zipWith结果以两个List中较短的那个为准，所以，为了保证x能正常参与运算（满足另一侧任意长度的List），所以对于ZipList而言，ZipList (repeat x)就是最小的那个context

<*>是从左侧取出函数List，从右侧取出数据List，再对两个List的元素一一结对做映射（zipWith）

让左侧函数List里只有同一个函数的话，就相当于拿这个函数对右侧List做映射：

> getZipList $ pure (+1) <*> (ZipList [1, 2, 3])
[2,3,4]

P.S.其中getZipList :: ZipList a -> [a]是个getter（具体见类型_Haskell笔记3 | Record），用来取出里面的List

换个花样：

> getZipList $ (+) <$> ZipList [1, 2, 3] <*> (ZipList [1, 2, 3])
[2,4,6]
> getZipList $ max <$> ZipList [1, 3, 4, 5] <*> ZipList [2, 0]
[2,3]

五.Applicative laws

同样，Applicative也要遵循一些规则：

pure f <*> x = fmap f x
pure id <*> v = v
pure (.) <*> u <*> v <*> w = u <*> (v <*> w)
pure f <*> pure x = pure (f x)
u <*> pure y = pure ($ y) <*> u

通过pure让普通函数f能够参与Functor运算，所以有：

pure f <*> x = fmap f x
pure id <*> v = v
pure f <*> pure x = pure (f x)

通过<*>让左侧Functor中的函数能够作用于右侧Functor中的值，所以：

-- $固定参数位置
u <*> pure y = pure ($ y) <*> u
-- (.)改变结合性
pure (.) <*> u <*> v <*> w = u <*> (v <*> w)

内置的Applicative实例都遵从这些规则，但同样只是道德约束，手动实现Applicative实例时要自觉遵守

Applicative style

通过<$>和<*>可以达到非常优雅的调用式风格。例如：

> (++) <$> Just "johntra" <*> Just "volta"
Just "johntravolta"

类比函数调用：

> (++) "johntra" "volta"
"johntravolta"

在I/O场景更明显：

myAction = do
  a <- getLine
  b <- getLine
  return $ a ++ b

对应的applicative style：

myAction = (++) <$> getLine <*> getLine

相当优雅，让Functor层面的运算与普通运算在形式上几乎没什么差异了（从形式上消除了运算所处context的差异）

参考资料

• Lifting

• What is “lifting” in Haskell?